Parcial III

Aprendizajes esperados.

Tratamiento analítico de las integrales definidas e indefinidas y uso intuitivo de los procesos infinitos y las situaciones límite.

Aquí van las fórmulas de métodos de integración ( cambio de variable y por partes)

Ejercicios sobre integral definida.

liks de paginas de apoyo:

Integración por sustitución o cambio de variable

Integración por sustitución o cambio de variable

1.-

Atendiendo a la tabla, escogemos el cambio de variable

Con este cambio, $e^{3x}=z^3$, así que obtendremos un cociente de polinomios.
Despejamos $x$ aplicando logaritmos:

Derivamos para calcular $dx$ (respecto de $x$ en el lado izquierdo y respecto de $z$ en el derecho):

Sustituimos en la integral y simplificamos (no olvidéis sustituir también $dx$):

La integral obtenida es inmediata (un logaritmo):

Deshacemos el cambio de variable:

Por tanto,

Nota: el valor absoluto ya no es necesario porque el argumento nunca es no positivo.
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2.-

Teniendo en cuenta la tabla, escogemos el cambio

Sustituimos en la integral:

Como ya sabemos (lo recordamos en la nota previa), la integral del coseno al cuadrado es

Deshaciendo el cambio de variable,

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3.-

Escogemos el cambio de variable

$z^2=$ radicando para que desaparezca la raíz cuadrada:

Despejamos $x$ y derivamos:

Sustituimos en la integral y simplificamos:

Calculamos la integral:

Deshacemos el cambio de variable:

Por tanto,

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4.-

Como el exponente del seno es impar, utilizaremos el cambio

Escribimos el seno en función de la nueva variable:

Aplicamos el cambio de variable:

Deshacemos el cambio:

Por tanto,

Ejercicios sobre Integracion por Partes.

links de paginas de apoyo:
Integración por partes
Integración por partes

1.-

Aplicaremos integración por partes 3 veces para reducir el exponente del monomio:

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2.-

Si escogemos dv = ln(x), no podremos obtener fácilmente v. Es mejor escoger u = ln(x)

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3.-

Escogemos u = x para reducir su exponente (y por tanto, desaparece x).
Notemos que la primitiva de

$$\frac{1}{co{s}^2\left(x\right)}$$

es inmediata.

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4.-

Integramos por partes:

Nota: al igual que en el ejercicio anterior, como no importa si cos x es u ó dv (ya que obtenemos un sinus), elegimos u = x para disminuir su grado (y así desaparece la x). Si escogemos dv = x, aumentamos su grado:
$$dv=x\to v=\frac{x^2}{2}$$

$$dv=jnuunfv$$