Método de aproximación por rectángulos.
Ejemplo:
El problema planteado
es calcular el área A comprendida entre la gráfica de una función f (x) > 0,
el eje X y las rectas verticales x = a y x = b.
Una solución aproximada al cálculo de esta área se puede
obtener dividiendo primero el área en rectángulos por debajo o por encima de la
gráfica de f (x), después calculando el área de cada uno de ellos y finalmente
sumando todas las áreas tal como se muestra en las figuras:
Observe como la aproximación se puede mejorar aumentando
el número de rectángulos, y como en la figura a hay un error por defecto y en
la figura b el error es por exceso.
Ejemplo
1:
Aplicando la
idea anterior calcular de manera aproximada el área A comprendida entre la
gráfica de la función y = x, el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = 1.
Resolución:
En las figuras de abajo se puede observar que la figura geométrica que resulta
al hacer la representación gráfica de este problema es la del triángulo cuya
área puede ser calculada inmediatamente por la fórmula ya conocida:
Sin embargo, para
ilustrar el poder, generalidad y funcionalidad de la idea de las aproximaciones
mediante rectángulos la calcularemos a continuación mediante este nuevo
procedimiento.
Ejemplos:
Al dividir
en cuatro partes iguales a la base del triángulo, se forman los rectángulos,
unos por debajo de la recta y los otros por encima de la recta.
1. Si calculamos el
área aproximada del triángulo en base a los tres rectángulos por debajo de la
recta se obtiene que:
Véase que de
esta manera encontrar el área bajo la curva no fue lo más exacto, pero sí una manera aproximada que puede mejorarse aumentando el número de rectángulos, ya
que se
pierden 2 / 16 del área real.
2. Si ahora
calculamos el área del triángulo en base a los cuatro rectángulos que
sobrepasan la recta, se obtiene que:
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Ejercicios sobre método de rectángulo (defecto y exceso)
1. Estimar el área debajo de la parábola 𝑦 = 𝑥2, desde x = 0 hasta x = 1 usando n rectángulos para cada caso:
A mayor cantidad de rectángulos, las regiones de cada rectángulo que queden por debajo o por encima serán cada vez más pequeños que la suma de todos esos errores será despreciable:
Método de aproximación por trapecios.
Ejemplos.
¿Qué tal si, en vez de rectángulos, usamos trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de una función? Idea clave: al usar trapecios (es decir, "la regla del trapecio"), podemos obtener aproximaciones más precisas que al utilizar rectángulos (es decir, "sumas de Riemann").
Ejemplo: Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 3 ln (𝑥) en el intervalo [2, 8].
Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio T1, al segundo T2 y al tercero T3.:
Recuerda que el área de un trapecio está dada por ℎ (𝑏1+𝑏2 / 2), donde h es la altura y b1 y b2 son las longitudes de las bases.
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